$$н! \approx \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n$$
что дает хорошую оценку значения \(n!\) для больших значений \(n\).
Теорема Стирлинга :
$$ \lim\limits_{n \to \infty} \frac{n!}{n^n e^{-n}} =\sqrt{2\pi} $$
что эквивалентно аппроксимационной формуле Стирлинга.
Числа Стирлинга тесно связаны с числами Белла, которые подсчитывают, сколько способов разделить множество.
Числа Стирлинга первого рода считаются, а числа Стирлинга второго рода дают знаковое количество перестановок, в которых ровно \(k\) элементы \(n\)-перестановки имеют меньшие индексы в исходном порядке, чем они имеют в перестановке.
Матрица Стирлинга :
\(n\)-я матрица Стирлинга представляет собой \(n \times n\) квадратную матрицу, обозначаемую \(S_n\), элементы которой \(s_{nk}\) задаются числами Стирлинга второго рода. .
