Федерико Вильярреаль родился 3 августа 1850 года в Тукуме (Ламбайеке) в семье скромных финансов. Учёбу начал в родном городе, а затем учился в национальной школе Сан-Хосе де Ламбайеке. Из‑за тяжёлой экономической ситуации ему пришлось работать с юных лет, в том числе в роли кассира на хлопкоочистительном заводе. В 1870 году он сдал экзамены и стал преподавателем начальных классов, после чего возглавил официальную начальную школу Тукуме (1871‑1873). В 1874 году открыл частную начальную школу, одновременно преподавал математику в средней школе Ламбайеке. В 1877 году получил звание учителя средней школы, что позволило ему переехать в Лиму.
Учёба в университете
Вильярреаль известен тем, что разработал оригинальный метод возведения любого многочлена в любую степень, более простой и надёжный даже для биномиалов, чем классический метод Ньютона. В 1877 году он поступил на факультет естественных наук Университета Сан‑Марко, где получил степень бакалавра за два года. В 1880‑м защита дипломной работы Влияние преломления на диски звёзд. Во время Тихоокеанской войны он вступил в резервную армию и сражался в битве при Мирафлорес (15 января 1881 г.). Несмотря на войну, в сентябре 1881 г. он получил докторскую степень по математическим наукам с диссертацией Классификация кривых третьего порядка, став первым доктором математического отделения и получив золотую медаль за выдающиеся успеваемости. В 1882‑м он начал обучение в Национальной школе инженеров, где получил квалификации инженера‑строителя (1884) и инженера‑горного дела (1886). С 1880‑х годов он читал кафедры астрономии, обзора математики и рациональной механики в Сан‑Марко, а в школе инженеров – физику, топографию, геодезию и бесконечно малый анализ. Также преподавал в Военной школе (1890‑1896) и в Военно‑море́йской академии.
Политическая деятельность
Вильярреаль был избран сенатором от Ламбайеке в 1894 и 1912 годах. В 1903 году он стал деканом факультета естественных наук Сан‑Марко, переизбираясь в 1907, 1911, 1915 и 1921 годах.
Другие исследования
В 1897 году он основал научный журнал Revista de Ciencias. Помимо математики, он интересовался индейскими языками и утверждал наличие связи между кечуа, аймара и юнга. В 1921 году переиздал грамматику языка юнга (мочика) Фернандо де ла Каррера. Проводил исследования астрономии инков, изучал явления комет в эпоху Хуайна Капака. Автор трактата Позитивистская доктрина (1891), в котором пытался соединить учения Огюста Конта и Вронского. Среди более 550 его работ выделяются Возведение полиномов (1886), Эсперанто (1901), Балка, закреплённая с двух сторон (1906), Деформация балок при изгибе (1909) и учебник Силовая прочность материалов. По словам историка Хорхе Басадре, Вильярреаль был выдающейся фигурой, «принёсшей блеск перуанской науке конца XIX – начала XX веков». Он скончался в Барранко (Лима) 13 июня 1923 года в возрасте 72 лет.
